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Poisson-Verteilung

Siméon Poisson, Mathematiker und Physiker, 26.06.1781 bis 25.04.1840
Die Verteilung wurde in einer Arbeit von 1837 beschrieben.

Für kleine Erfolgswahrscheinlichkeiten kann die Binomialverteilung durch die Poisson-Verteilung angenähert werden. D. h., sie gilt, wenn die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse das Ergebnis einer sehr großen Zahl von Ereignismöglichkeiten und einer sehr kleinen Ereigniswahrscheinlichkeit ist.
Als Beispiel hierzu wird oft der radioaktive Zerfall erwähnt: Aus einer sehr großen Anzahl von Atomen zerfällt in einer Zeiteinheit nur ein sehr kleiner Anteil der Atome. Dieser Zerfall ist rein zufällig und unabhängig von den schon zerfallenen Atomen. Dies ist eine wesentliche Voraussetzung für die Poisson-Verteilung.
Sie ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung (siehe Grafik Statistiklabor) und wird durch den Parameter  vollständig charakterisiert. ist zugleich Erwartungswert und Varianz:

Sprung zum MittelwertSprung zur Standardabweichung/Varianz

Praktische Beispiele sind:

      • Fehlerhafte Teile innerhalb einer Produktion
      • Zahl der Defekte von Fahrzeugen bezüglich der Gesamtzahl der produzierten Fahrzeuge
      • Anzahl der Fehlstellen auf z. B. einem lackierten Blech
      • usw.

Über die Poisson-Verteilung lässt sich also die Fehlerwahrscheinlichkeit pro Einheit ermitteln.

Wenn, ausgehend von der Binomialverteilung, n sehr groß und p (Erfolgswahrscheinlichkeit) klein ist, dann ist

      • oft das Produkt np =  konstant
      • oder strebt einen, mit wachsendem n, endlichen Grenzwert zu.

Somit ist die Poisson-Verteilung

mit

     = mittlere Fehlerzahl pro Einheit (Erwartungswert)

und

    x = Fehler pro Einheit (x = 0, 1, 2, ...) bestimmt.

Die mittlere Fehlerzahl ist der arithmetische Mittelwert der Fehler einer großen Zahl “Einheiten”. Mit steigendem Erwartungswert nähert sich die Poisson-Verteilung einer Normalverteilung.

1. Beispiel:

Der Fehlererwartungswert in einer Autoblechlackiererei beträgt für ein bestimmtes Bauteil 1,2 Fehler und ist poissonverteilt.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit P

        a) genau 0,

        b) genau 2 oder

        c) höchstens 2

Lackfehler pro Bauteil vorzufinden?

Berechnung der Wahrscheinlichkeit P für a) genau 0 Fehler:

Die Wahrscheinlichkeit P(0|1,2) beträgt 0,3012 oder 30,1%.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit P für b) genau 2 Fehler:

Die Wahrscheinlichkeit P(2|1,2) beträgt 0,2169 oder 21,7%.

Zur Berechnung von c) höchstens 2 Fehler, wird noch die Wahrscheinlichkeit für genau 1 Fehler pro Einheit benötigt:

Höchstens 2 Fehler pro Bauteil ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten PSum:

PSum = P(0) + P(1) + P(2)

PSum(2|1,2) = 0,3012 + 0,3614 + 0,2169 = 0,8795 = 87,95%

Lösung über Mathcad:

Lösung über das Statistiklabor:     (Beispiel als Zip-Datei laden....)

In obiger Grafik “Poisonverteilung”, sie wurde zufällig auf Basis von Lambda 1,2 erzeugt, wird der diskrete Charakter deutlich.

Additionssatz der Poisson-Verteilung:

Ist die Fehleranzahl pro Einheit poissonverteilt, können mehrere Einheiten n zu einer neuen Einheit (s. hier Stichprobe) zusammengefasst werden. Die daraus resultierende neue Fehleranzahl ist mit

ebenso poissonverteilt.
Die Fehleranzahl erhöht sich also mit der Anzahl der zusammengefassten Einheiten und das bedeutet, dass sie nur von der Größe dieser Einheit abhängt!

2 Beispiel:

In diesem Beispiel werden 3 Einheiten des 1. Beispiels, mit dem Erwartungswert : 1,2 zu einer neuen Einheit zusammengefasst. Wie hoch ist nun die Wahrschenlichkeit P für 2 Fehler in dieser neuen größeren Einheit?

Die Differenz beträgt 4%. Hier muss also eine Entscheidung zwischen Stichproben- und Arbeitsumfang getroffen werden.

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