Zurück...

Zurück zum Lexikon Normalverteilung / Potenzmomente oder zur Seite Median.

Abweichung von der Normalverteilung: Schiefe und Wölbung

Es werden 2 Typen möglicher Abweichungen von der Normalverteilung unterschieden:

1. Typ:
Die Verteilung ist unsymmetrisch oder schief, siehe rote Verteilung in der Grafik. Eine positive Schiefe, auch linkssteil genannt, liegt dann vor, wenn der Hauptanteil der Verteilung auf der linken Seite liegt.

Es gilt:

Linkssteile Verteilung: D < <

 Rechtssteile Verteilung: D > >

D: Dichtemittel
: Median
: Mittelwert

2. Typ:
Liegt das Maximum (Dichtemittel) bei gleicher Varianz höher als das einer Normalverteilung, also spitzer, liegt ein positiver Exzess und wenn das Maximum tiefer liegt, die Verteilung im Vergleich zur Normalverteilung abgeflacht ist, liegt ein negativer Exzess vor (siehe grüne Verteilung in der Grafik).

Die Schiefe (skewness) und Wölbung (kurtosis) wird über die Potenzmomente berechnet.

Potenzmomente

Abweichungen bezüglich der Schiefe von der Normalverteilung werden über den Momentkoeffizienten α3 geschätzt:

Für eine symmetrische Verteilung gilt α3 = 0.
Ist α3 positiv, liegt eine Linkssteile und ist α3 negativ liegt eine rechtssteile Verteilung vor.

Abweichungen bezüglich der Wölbung von der Normalverteilung werden über den Momentenkoeffizient α4 geschätzt:

Für die Normalverteilung gilt α4 = 0.
Ist α4 positiv, liegt ein positiver Exzess, Hochgipfligkeit, vor. Ist α4 hingegen negativ, liegt ein negativer Exzess, Flachgipfligkeit, vor.

Eine Schätzung bezüglich einer vermuteten Abweichung von der Normalverteilung kann auch über den Chi-Quadrat-Test (-Test) erfolgen. Auf der Beispielseite sehen Sie auch ein Vergleich -Test und Momentkoeffizienten α3.

Unterstützung mit dem Statistikprogramm R

Möchten Sie die oben beschriebene Schätzungen nicht per Hand durchführen, kann Ihnen das freie Statistikprogramm R weiterhelfen! Wenn Ihnen R nicht geläufig ist, bietet Ihnen das Buch Einführung in R einen einfachen Einstieg.

Laden Sie die Funktion normalv() in die R-Arbeitsumgebung. x stellt den Datensatz, den Sie auf Normalverteilung prüfen möchten, dar. Der beispielhafte Aufruf der Funktion normalv() mit einem Datensatz, bestehend aus 10.000 Werten (Mittelwert = 0, Standardabweichung = 1), zeigt folgende Schätzung...

> normalv(x, grafik=T)

Kennzahlen zur Normalverteilung

Anzahl der übergebenen Werte:

 100000

Mittelwert:

-0.001567027

Standardabweichung:

 0.9980946

Schiefe:

-0.006819426

Wölbung:

 0.0005043491

 

 5-Punkte-Zusammenfassung:

 Kleinster Wert:

-4.216

 1. Quantile:

-0.6741

Median:

 0.0006122

3. Quantile:

 0.6725

Größter Wert:

 4.35

 

Kolmogoroff-Smirnov-Test:

 Prüfgröße:

0.001964185

Wahrscheinleichkeit (p-Wert): 0.8351301 ( 83.5 %-iges Zutreffen der Normalverteilung)


 

... und gibt folgende Grafiken aus:

Seitenanfang

Hat der Inhalt Ihnen weitergeholfen und Sie möchten diese Seiten unterstützen?