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Folgen und Reihen Eine Folge wird wie folgt formal definiert:
Die Elemente xn werden Folgenglieder genannt und üblicherweise mit einem Index n angegeben. Die Menge M wird in der obigen Definition nicht weiter beschrieben, kann also aus beliebigen Objekten bestehen. Auf dieser Seite geht es um Zahlenfolgen, z. B. um xn
und die gesamte Folge wird mit
oder wenn unmissverständlich, mit (xn) bezeichnet. Die Folgenglieder enstehen durch Bildungsgesetze, wie z. B. für diese simple Folge positiver ganzer Zahlen:
Liegt eine Zahlenfolge mit gleicher Differenz zwischen den Folgengliedern vor, wird von einer arithmetischen Folge gesprochen: xn = 2; 5; 8; 11; 14; .... Die Differenz d in dieser arithmetischen Folge ist 3 und daraus kann einfach das allgemeine Bildungsgesetz für arithmetische Folgen abgeleitet werden:
Ist der Quotient q zwischen 2 benachbarte Folgenglieder
konstant, liegt eine geometrische Folge vor: xn = 3; 9; 27; 81, ... Der Quotient entspricht in diesem Beispiel q = 3 und daraus lässt sich das allgemeine Bildungsgesetz für geometrische Folgen ableiten:
Eigenschafen von Folgen Eine Folge wird als monoton wachsend bezeichnet, wenn
gilt. Ist
wird die Folge als monoton fallend bezeichnet. Eine reelle oder komplexe Folge (xn) ist beschränkt, falls es eine positive reelle Zahl B gibt, sodass
gilt. Ohne B heißt die Folge (natürlich) unbeschränkt. Besitzt eine Folge im reellen Zahlenraum R oder im komplexen Zahlenraum C einen Grenzwert, ist die Folge konvergent. Besitzt die Folge keinen Grenzwert, heißt die Folge divergent. Eine Zahl x aus einem der erwähnten Zahlenräumen, heißt Grenzwert einer Folge
gilt. “Die Folge konvergiert gegen ...” bedeutet also die Annäherung an einem Grenzwert (Limes):
Als Beispiele für Grenzwerte wird hier die Euler’sche Zahl e und ...
... und die Folge
... die zweite Grafik zeig den Wert der Folge u mit n = 25:
Der Grenzwert c (oder auch L für Limes) der Folge u ist dann
Folgen, die den Grenzwert c = 0 haben, heißen Nullfolgen. Reihen Die Summe der Glieder oder Gliederteile einer Folge wird als Reihe bezeichnet:
sn wird als Partialsumme bezeichnet. |
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