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Lineare Gleichungen

Eine Gerade in der xy-Ebene kann algebraisch durch eine Gleichung der Form a1x + a2y = b dargestellt werden. Eine derartige Gleichung wird linear mit den Variablen x und y genannt. Allgemein wird eine lineare Gleichung mit n Variablen, wobei n in den allermeisten Fällen Unbekannte sind, in folgender Form dargestellt:

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b
a1, a2, ..., an und b sind reelle Konstanten

 Beispiele:

      x + 2y = 6             x1 + 3x2 - 2x3 + x4 = 9

      Obige Beispiele sind linear. Lineare Gleichungen enthalten keine Produkte oder Wurzeln ihrer Variablen und alle Unbekannten nur in ihrer 1. Potenz. Weiterhin gilt für die Unbekannten, dass sie nicht als Argumente in trigonometrischen, logarithmischen oder Exponentialfunktionen erscheinen.

       Folgende Gleichungen sind folglich nicht linear:

      x + 2y2 = 6            y - sin x = 0

Lineare Systeme:

Lineares System ist die Kurzbezeichnung für ein lineares Gleichungssystem, welches aus einer endlichen Menge linearer Gleichungen mit den Variablen x1, x2, ..., xn besteht:

            a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
            a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
               :      :           :     :
            am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

            x1, x2, ... xn: Variablen
            a11 bis amn und b1 bis bm: Konstanten

Die doppelte Indexierung der Konstanten in der allgemeinen Form aij erlaubt die eindeutige Zuordnung zur Variablen xn. Der Index i gibt die Zeile an (= Gleichung) und der Index j die Spalte (= die zugehörige Variable).

Die Lösung einer linearen Gleichung besteht aus n Zahlen z1, z2, ..., zn, sodass die Gleichung durch die Substitution x1 = z1, x2 = z2, ..., xn = zn erfüllt ist. Die Zahlen z1 ... zn heißen Lösungsmenge oder allgemein Lösung der linearen Gleichung. Nicht jedes lineare Gleichungssystem besitzt eine Lösung. Ein System, das keine Lösung besitzt, wird inkonsistent und ein lösbares System wird als konsistent bezeichnet. Allgemein gilt der Satz:

    Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine, genau eine oder unendliche viele Lösungen.

Wird obiges lineare System in der Matrix-Form, in dem “+”, “x” und “=” nicht mehr “hingeschrieben” werden, dargestellt, gelangen wir zur erweiterten Matrix:
Erweitert deswegen, weil die Konstanten a (diese werden in Zukunft Koeffizienten genannt) und die Konstanten b in einer Matrix dargestellt werden.

Matrix-Definition:

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema. Die Zahlen werden als Elemente der Matrix bezeichnet.

Lösen eine lineares Gleichungssystem:

Ein lineares Gleichungssystem kann durch die Gauß-Eliminierung gelöst werden. In diesem Verfahren wird die erweiterte Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform umgeformt. Die reduzierte Zeilenstufenform liegt vor, wenn

  1. eine Zeile nicht nur aus Nullen besteht, so ist die erste von Null verschiedene Zahl eine Eins (“führende Eins”),
  2. alle Zeilen, die nur Nullen enthalten, am Ende der Matrix stehen und
  3. in zwei aufeinander folgenden Zeilen, deren Elemente > 0 sind, die führende Eins der unteren Zeile rechts von der führenden Eins der oberen Zeile steht.

    Zeilenstufenform liegt unter Berücksichtigung der oberen 3 Punkte dann vor, wenn
     
  4. eine Spalte, die eine führende Eins enthält, keine weitere von Null verschiedenen Einträge enthält.

Matrix, reduzierte ZeilenstufenformBeispiel einer reduzierten Zeilenstufenform

Beispiel der Zeilenstufenform (über eine führende Eins steht keine Null)

Homogenes lineares Gleichungssystem:

Ein lineares Gleichungssystem heißt homogen, wenn alle Konstanten Terme gleich Null sind. Das System hat dann die allgemeine Form

          a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
          a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
             :      :           :     :
          am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0

Hat ein konsistentes homogenes Gleichungssystem eine Lösung, wird diese Lösung als trivial bezeichnet. Gibt es darüber hinaus noch weitere Lösungen, werden diese als nichttrivial bezeichnet. Für jedes homogene System, das trivial lösbar ist, gelten folgende Aussagen:

      • Das System hat nur triviale Lösungen (1).
      • Das System hat zusätzlich zur trivialen Lösung unendlich viele nichttriviale Lösungen (2).

Beispiel:

          a11x1 + a12x2 = 0        a11 oder a12 <> 0
          a21x1 + a22x2 = 0        a21 oder a22 <> 0

Die triviale Lösung entspricht in obiger Abbildung Grafik 1. Besitzt ein homogenes System mehr Unbekannte als Gleichungen, besitzt es nichttriviale Lösungen (Grafik 2 in obiger Abbildung).

 

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