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Lineare Gleichungen Eine Gerade in der xy-Ebene kann algebraisch durch eine Gleichung der Form a1x + a2y = b dargestellt werden. Eine derartige Gleichung wird linear mit den Variablen x und y genannt. Allgemein wird eine lineare Gleichung mit n Variablen, wobei n in den allermeisten Fällen Unbekannte sind, in folgender Form dargestellt: a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b Beispiele: x + 2y = 6 x1 + 3x2 - 2x3 + x4 = 9 Obige Beispiele sind linear. Lineare Gleichungen enthalten keine Produkte oder Wurzeln ihrer Variablen und alle Unbekannten nur in ihrer 1. Potenz. Weiterhin gilt für die Unbekannten, dass sie nicht als Argumente in trigonometrischen, logarithmischen oder Exponentialfunktionen erscheinen. Folgende Gleichungen sind folglich nicht linear: x + 2y2 = 6 y - sin x = 0 Lineares System ist die Kurzbezeichnung für ein lineares Gleichungssystem, welches aus einer endlichen Menge linearer Gleichungen mit den Variablen x1, x2, ..., xn besteht: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 x1, x2, ... xn: Variablen Die doppelte Indexierung der Konstanten in der allgemeinen Form aij erlaubt die eindeutige Zuordnung zur Variablen xn. Der Index i gibt die Zeile an (= Gleichung) und der Index j die Spalte (= die zugehörige Variable). Die Lösung einer linearen Gleichung besteht aus n Zahlen z1, z2, ..., zn, sodass die Gleichung durch die Substitution x1 = z1, x2 = z2, ..., xn = zn erfüllt ist. Die Zahlen z1 ... zn heißen Lösungsmenge oder allgemein Lösung der linearen Gleichung. Nicht jedes lineare Gleichungssystem besitzt eine Lösung. Ein System, das keine Lösung besitzt, wird inkonsistent und ein lösbares System wird als konsistent bezeichnet. Allgemein gilt der Satz: Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine, genau eine oder unendliche viele Lösungen. Wird obiges lineare System in der Matrix-Form, in dem “+”, “x” und “=” nicht mehr “hingeschrieben” werden, dargestellt, gelangen wir zur erweiterten Matrix: Matrix-Definition: Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema. Die Zahlen werden als Elemente der Matrix bezeichnet. Lösen eine lineares Gleichungssystem: Ein lineares Gleichungssystem kann durch die Gauß-Eliminierung gelöst werden. In diesem Verfahren wird die erweiterte Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform umgeformt. Die reduzierte Zeilenstufenform liegt vor, wenn
Beispiel einer reduzierten Zeilenstufenform Beispiel der Zeilenstufenform (über eine führende Eins steht keine Null) Homogenes lineares Gleichungssystem: Ein lineares Gleichungssystem heißt homogen, wenn alle Konstanten Terme gleich Null sind. Das System hat dann die allgemeine Form a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0 Hat ein konsistentes homogenes Gleichungssystem eine Lösung, wird diese Lösung als trivial bezeichnet. Gibt es darüber hinaus noch weitere Lösungen, werden diese als nichttrivial bezeichnet. Für jedes homogene System, das trivial lösbar ist, gelten folgende Aussagen:
Beispiel: a11x1 + a12x2 = 0 a11 oder a12 <> 0 Die triviale Lösung entspricht in obiger Abbildung Grafik 1. Besitzt ein homogenes System mehr Unbekannte als Gleichungen, besitzt es nichttriviale Lösungen (Grafik 2 in obiger Abbildung).
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