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Allgemeines zu Funktionen, Teil 2

Funktionen kombinieren, Graphen verschieben und skalieren

Funktionen können addiert, subtrahiert, multipliziert und, wenn der Nenner nicht 0 ist, dividiert werden. Durch diese Operationen entsteht eine neue Funktion.

Sind f und g Funktionen, kann für alle x die zum Definitionsbereich D von f und auch zum Definitionsbereich D von g gehören

Kombinierte Funktionen1Menge - DurchschnittMenge - Zugehörigkeit

die Funktion f+g, f-g und fg durch die Gleichungen

Kombinierte Funktionen2

definiert werden. An jeder Stelle Kombinierte Funktionen3, an der g(x) # 0 ist, kann die Funktion f/g definiert werden:

Kombinierte Funktionen4

Funktionen können mit Konstanten multipliziert werden. Ist c eine reelle Zahl, ist cf für alle x gleich

Kombinierte Funktionen6

Der Graph der Funktionen f+g wird gebildet, indem die y-Koordinaten f(x) und g(x) an jeder Stelle Kombinierte Funktionen7 addiert werden:

Kombinierte Funktionen8
Hinweis: x2 bedeutet x2

Ein weiteres Funktionsadditions-Beispiel, in dem f1 und f2 zu f3 addiert werden:

Kombinierte Funktionen9

Die folgende Abbildung zeigt den resultierenden Funktionsgraph f3 im Definitionsbereich Df3:

Kombinierte Funktionen10a

Eine weitere Art Funktionen zu kombinieren, ist die Verkettung oder auch das Zusammensetzen.  Was bedeutet verketten? Zur Erklärung gehen wir wieder von den Funktionen f(x) und g(x) aus. Eine Verkettung beider Funktionen wird wie folgt definiert:

Kombinierte Funktionen11

Um den Wertebereich W der Funktion f(g(x)) zu bestimmen, wird zuerst g(x) und dann f(g(x)) bestimmt. Es wird also von innen nach außen vorgegangen. Der Definitionsbereich D von Kombinierte Funktionen11b besteht aus den Werten x des Definitionsbereiches für g, für die g(x) im Definitionsbereich der Funktion f liegen:

Kombinierte Funktionen12

Hier ein einfaches Beispiel:

Kombinierte Funktionen13

Funktionen verschieben, skalieren und spiegeln

Wird eine Konstante zu einer Funktion addiert, wird die Funktion um diese Konstante verschoben. Grafisch lässt sich dies anschaulich darstellen:

Vertikale Verschiebung:

All_Funk_Verschieben_1

y = f(x) + k

Ist k > 0, wird f(x) um k Einheiten nach oben verschoben.
Ist k < 0, wird f(x) um k Einheiten nach unten verschoben.

Horizontale Verschiebung:

All_Funk_Verschieben_2

y = f(x + k)

Ist k > 0, wird f(x) um k Einheiten nach links verschoben.
Ist k < 0, wird f(x) um k Einheiten nach rechts verschoben.

Skaliert oder gespiegelt wird eine Funktion, wenn sie oder die unabhängige Variable mit einer Konstanten multipliziert wird:

All_Funk_Skalieren

Die obigen Funktionsgrafiken wurden erstellt mit dem  Texas Instruments TI Nspire CX CAS Taschenrechner

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