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Allgemeines zu Funktionen, Teil 1

Über die Mathematik wird versucht, Zusammenhänge in der realen Welt mathematisch zu beschreiben. Dazu werden von der realen Welt Modelle gebildet, die den vermuteten Zusammenhang beschreiben. Dieser Zusammenhang wird Funktion genannt. Z. B. hängt der Siedepunkt von Wasser von dem Luftdruck ab. In einem Tal ist der Wassersiedepunkt höher als auf einem Berg, denn dort ist der Luftdruck geringer. Ein funktionaler Zusammenhang zwischen Siedepunkt und Wasser darf vermutet werden (-> Modell).

In diesem Modell hängt die veränderliche Größe Siedepunkt (y) von der variablen Größe Luftdruck (x) ab. Mathematisch ausgedrückt heißt es dann

y ist eine Funktion von x

und wird in der mathematischen Schreibweise wie folgt dargestellt...

y = f(x)     (explizite Darstellungsform).

... und wird gelesen als “y ist gleich f von x” wobei,

          f für Funktion,
          x für die unabhängige Variable und
          y für die abhängige Variable

steht. Aus der bisherigen Funktionsbeschreibung folgt die Definition einer Funktion:

    Eine Funktion f ist eine Zuordnung, die jeder Zahl x einer Zahlenmenge D eine Zahl y aus der Zahlenmenge W zuordnet.
    Die Zuordnung ist eindeutig, d. h., jeder Zahl x wird genau eine Zahl y zugeordnet.

    Beispielhafte Schreibweisen:

            y = f(x) oder x -> f(x)

    D: Menge aller möglichen Eingabewerte = Definitionsbereich der Funktion
    W: Menge der Werte aus f(x) für x aus D = Wertebereich der Funktion

Für y = f(x) wird oft nur kurz f(x) geschrieben. Und die Schreibweise y = f(x), f: D -> W bedeutet, dass die Funktion den Definitionsbereich D und den Wertebereich W hat. Eine Funktion besteht demnach aus 3 Teilen (Abb. 1):

Funktion_all_1
Abb.1

Wird D oder W nicht angegeben, gilt

Das ist dann der natürliche oder maximale Definitionsbereich D. Der Definitionsbereich z. B. der Funktion ist die gesamte Menge der reellen Zahlen (F1 in Abb. 2).

y = f(x) = x2  (F1)

Funktion all_F1
Abb.2: Darstellung von F1

Eine Funktion kann mit einem Automaten verglichen werden (Abb. 3):

Funktionsautomat

Abb. 3: Funktion als Automat

In Abb. 3 stellt als wesentliches Element der Funktionsautomat die Zuordnungsvorschrift f dar. Der Funktionsautomat berechnet auf Basis der Eingabe x die Ausgabe y.

Von einer beschränkten Funktion wird gesprochen, wenn der Definitionsbereich D auf bestimmte Werte beschränkt ist (oder wird). Wird z. B. F1 (Abb. 3) auf positive Werte für x beschränkt, wird

y = x2  ,  x > 0

geschrieben. Die allgemeine Schreibweise für eine nach unten und/oder oben beschränkte Funktion ist:

Funktion_all_beschraenkt

              a, b: reelle Zahlen, die die Funktion beschränken

Beispiele für beschränkte Funktionen (Abb. 4):

Funktion_all_Beschränkung
Abb. 4, beschränkte Funktionen

Ändert sich der Definitionsbereich einer Funktion, ändert sich i. d. R. auch der Wertebereich. Der Wertebereich der Funktion y = x2 (F1) ist Funktion_all_W_unendl. Abbildung 5 zeigt für einige Funktionen den natürlichen Definitions- und entsprechenden Wertebereich:

Funktion_all_D_W
Abb. 5: Definitions- und Wertebereich ausgewählter Funktionen

Der Graph einer Funktion ist das Bild, das erhalten wird, wenn man eine Funktion y = f(x) über geordnete Zahlenpaare (Abb. 6) in ein Koordinatensystem einträgt.

Funktion_all_Zahlenpaar
Abb. 6: Zahlenpaar x,y

In einem kartesischen Koordinatensystem ist die waagerechte Achse die x-Achse (Abszissenachse) und die senkrechte Achse ist die y-Achse (Ordinatenachse). x ist dann die Abszisse und y die Ordinate eines Punktes (x,y) mit den Koordinaten x und y. Hier ein Beispiel für die Funktion y = x2 (Abb. 6):

Funktions_Graph
Abb. 6: Konstruktion eines Funktionsgraphen

Nebenbei haben wir mit Abb. 6 eine weitere Möglichkeit zur Darstellung einer Funktion kennen gelernt: Die Darstellung als Wertetabelle! Die Konstruktion der grafischen Darstellung über die Wertetabelle (numerische Darstellung) ist nachvollziehbar. Die Güte der grafischen Funktionsdarstellung hängt mit der Dichte der Punkte ab. Einfach ausgedrückt: Je höher die Punkt-Zahl, desto besser die Darstellung des grafischen Funktionsverlaufes!

Neben der Funktionsbeschreibung durch die Funktionsgleichung ermöglicht die grafische Darstellung einen Überblick über das Funktionsverhalten. Um zu entscheiden, ob eine grafische Darstellung in einem Koordinatensystem der Graph einer Funktion ist, wird der Senkrechtentest herangezogen. Da eine Funktion f nur einen Wert f(x) für jedes x aus dem Definitionsbereich D haben kann, kann eine Senkrechte den Funktionsgraph nur einmal schneiden (Abb. 7):

Funktion_all_Senk_1

Funktion_all_Senk_2

Obige Abbildung ist der Graph einer Funktion, da die Senkrechte den Graph nur einmal im Punkt (a, f(a)) schneidet.

Obige Abbildung ist kein Funktionsgraph, da die Senkrechte den grafischen Kurvenverlauf zweimal in dem Punkt (a, f(a)) schneidet.

Abb. 7: Senkrechtentest

Eine Funktion y = f(x) heißt

      • monoton wachsend, wenn aus x1 < x2 stets Funktion_all_mono1,
      • streng monoton wachsend, wenn aus x1 < x2 stets Funktion_all_mono2 und
      • monoton fallend, wenn aus x1 < x2 stets Funktion_all_mono3 und
      • streng monoton fallend, wenn aus x1 < x2 stets Funktion_all_mono4

folgt. x1 und x2 sind beliebige Punkte aus dem Definitionsbereich D, wobei auch nur ein bestimmter Bereich des Definitionsbereichs betrachtet werden kann. Abb. 8 zeigt zwei Beispiele:

Funktion_all_mono_Gr1

Funktion_all_mono_Gr2

Streng monoton wachsende Funktion

Stückweise definierte Funktion

Abb. 8: Beispiele zur monotonen Funktion

Die Symmetrieeigenschaft einer Funktion hängt davon ab, ob sie gerade oder ungerade ist. Was bedeutet gerade oder ungerade?

      • Eine Funktion y = f(x) ist eine gerade Funktion von x, wenn für alle Funktion_all_sym1 gilt. Ein Beispiel für eine gerade Funktion ist f9(x) = x2, der rote Funktionsgraph in Abb. 10.
      • Eine Funktion y = f(x) ist eine ungerade Funktion von x, wenn für alle Funktion_all_sym2 gilt. Ein Beispiel für eine ungerade Funktion ist f10(x) = x3, der schwarze Funktionsgraph in Abb. 10.
Funktion_all_symGraph
Abb. 10: Symmetrieeigenschaft einer Funktion

Die Bezeichnung gerade und ungerade hängt mit der Potenz von x zusammen. Ist die Potenz von x eine gerade Zahl wie 2 oder 4, wird von einer geraden Funktion gesprochen. Ist die Potenz ungerade, wie z. B. 3 oder 5, wird von einer ungeraden Funktion gesprochen. Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse (siehe Abb. 10, f9(x) = x2, roter Funktionsgraph) und ungerade Funktionen sind symmetrisch bezüglich des Ursprungs [0,0] (siehe Abb. 10, f10(x) = x3, schwarzer Funktionsgraph).

Eine elementare Funktion ist eine Funktion, deren Funktionsgleichung durch einen geschlossen analytischen Ausdruck dargestellt werden kann. Elementare Funktionen werden über Formeln definiert, die endlich viele mathematische Operatoren mit der unabhängigen Variablen x und den Koeffizienten enthalten. Abb. 11 gibt einen Überblick über die elementaren Funktionen:

Übersicht_FunktionenLinerare FunktionPotenzfunktionPotenzfunktionWurzelfunktionPolynomAlgebraische FunktionExponentialfunktion
Abb. 11: Übersicht über die elementaren Funktionen
  • Lineare Funktion:
          • f(x) = mx + b

            b = 0
            : Die Gerade verläuft durch den Ursprung
            m = 1 und b = 0: Identische Funktion

  • Potenzfunktion:
          • f(x) = xn

            Die Konstante n ist der Exponent von x

          • Jeder Graph läuft durch den Punkt P(1,1) und dem Ursprung [0,0].
          • Mit zunehmenden Exponenten n (n = 1, 2, 3,4, ...) wird der Graph im Intervall (-1,1) immer flacher und für Funktion_all_absolut1 immer steiler. Siehe Symmetrieeigenschaften!
  • Wurzelfunktion:
    (Irrationale Funktion)
  • Polynomfunktion (kurz Polynom):
    (Ganze rationale Funktion)
          • p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
             

          • n ist eine nichtnegative ganze Zahl
          • an sind reelle Konstanten (Koeffizienten)
          • Der Definitionsbereich ist Funktion_all_Dunendl
          • Das größte n steht für den Grad des Polynoms (siehe auch hier)

    Gebrochene rationale Funktion:

            Eine gebrochene rationale Funktion kann immer als Quotient zweier ganzer rationaler Funktionen dargestellt werden. Zähler und Nenner sind Polynome in x:

            Funktion_all_GebrRatF

  • Algebraische Funktion:
          • Jede Funktion, die mithilfe von algebraischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Radizieren) aus Polynomen gebildet wurden, sind algebraische Funktionen. Alle rationalen Funktionen sind algebraische Funktionen.

            Beispiel: Funktion_all_algebraisch

  • Exponentialfunktion:
    (Transzendente Funktion)
          • Funktion_all_ExpoE

            e = Eulersche Zahl (=2,71828182...)

          • Der Definitionsbereich ist Funktion_all_Dunendl.
          • Der Wertebereich ist Funktion_all_y_gegen null       (y strebt gegen 0).
             
  • Logarithmische Funktion:
    (Transzendente Funktion)
          • f(x) = logax

          • a ist eine positive Konstante Basis mit a # 1.
             
  • Trigonometrische Funktion:
    (Transzendente Funktion)

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Die obigen Funktionsgrafiken wurden erstellt mit dem  Texas Instruments TI Nspire CX CAS Taschenrechner

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