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Die Winkelfunktionen

Steigen wir in das Thema Winkelfunktionen über den Kreisbogen ein:

Die Strecken A und B bestimmen einen Kreisausschnitt über den Kreismittelpunkt M und den Punkten A’ und B’ in dem in Abb. 1 dargestellten Kreis. Die zum Kreisausschnitt gehörende Kreislinie S wird Kreisbogen genannt.

TrigoFunktionen_Kreis1

Abb. 1

Die Länge des Kreisbogen S wird definiert durch den Mittelpunktwinkel alpha-Zeichen und  Radius r des Kreises: 

TrigoFunktionen_Kreis2TrigoFunktionen_Kreis3

Wird nicht explizit eine Winkeleinheit wie Grad ° angegeben, wird davon ausgegangen, dass der Winkel in Radiant rad angegeben wird. Durch Winkelangaben in rad werden Operationen in der Analysis vereinfacht.

Hier eine kleine Umrechnungstabelle  zwischen Grad ° und rad:

TrigoFunktionen_Kreis4

Einheitskreis, Standardposition und Quadranten

Abb. 2:
1. Position im Kreis:
Dieser Winkelschenkel in der xy-Ebene liegt in der Standardposition, weil ein Schenkel auf der X-Achse liegt.

2. Position im Kreis:
Wird der freie Schenkel gegen den Uhrzeigersinn gedreht, hat der Winkelwert alpha-Zeichen ein positives Vorzeichen.

3. Position im Kreis:
Wird der freie Schenkel mit dem Uhrzeigersinn gedreht, nimmt der Winkelwert von alpha-Zeichen ein negatives Vorzeichen an.

TrigoFunktionen5

Abb. 2

4. Position im Kreis:
Dadurch, dass das Koordinatensystem so in den Kreis gelegt wurde, dass der Kreismittelpunkt M und Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems übereinanderliegen, kann der Kreis in 4 Segmente mit 4 rechten Winkeln, den sogenannten Quadranten, aufgeteilt werden.  Nimmt der Radius (siehe auch Abb. 1) die Länge 1 an, wird vom Einheitskreis gesprochen.

Trigonometrische Funktionen

Die sechs grundlegenden trigonometrischen Funktionen (Abb. 4) werden als Funktionen eines spitzen Winkels Winkelsymbol durch die Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks beschrieben (Abb. 3):

TrigoFunktionen6

Abb. 3

TrigoFunktionen7

Abb. 4

Wie in Abb. 3 gezeigt, lässt sich ein rechtwinkliges Dreieck in den Kreis legen (Abb. 5):

TrigoFunktionen8

Abb. 5

Definiert werden nun die trigonometrischen Funktionen als Funktion der Koordinaten des Punktes P(x,y) in dem der frei Schenkel r (Radius) des Winkels Winkelsymbol den Kreis schneidet (Abb. 6).

Sie erkennen die Übereinstimmung mit Abb. 4.

TrigoFunktionen9

Abb. 6

Hier ein Hinweis zur Verbindung mit dem Thema linearen Regressionanalyse (Abb. 7):

TrigoFunktionen10

Abb. 7

Sind die Quotienten aus Abb. 6 definiert, gilt (Abb. 8):

TrigoFunktionen11

Abb. 8

Abb. 9 zeigt eine kleine Übersicht für ausgewählte Gradzahlen und Radianten:

TrigoFunktionen12

Abb. 9

Abb. 9 lässt die Periodizität trigonometrischer Funktionen erahnen. Die Winkel Winkelsymbol und Winkelsymbol + pi-Symbol haben den selben trigonometrischen Funktionswert, z. B. (Abb.10): 

TrigoFunktionen13

Abb. 10

Dieses Verhalten (Abb. 10) beschreibt das periodische Verhalten der sechs grundlegenden trigonometrischen Funktionen.

Eine Funktion f(x) ist periodisch, wenn

              f(x + p) = f(x)

mit p als positive Zahl. Der kleinste Wert von p ist die Periode von f. Abb. 11 zeigt ein Periodizitätsbeispiel für die Funktionen y = sin(x) und y = cos(x):

TrigoFunktionen14
Abb. 11

Die Graphen der Funktionen y = sin(x) und y = cos(x) haben die gleiche Form, sind lediglich um den 1/2 pi-Symbol gegeneinander verschoben (Abb. 11). Der Funktionsverlauf wiederholt sich nach einem Intervall von 2pi-Symbol, das heißt, die Periode ist 2pi-Symbol (Wellenlänge oder Schwingungsdauer).

Trigonometrische Identitäten

    Da

    TrigoFunktionen15
    gilt
    TrigoFunktionen16

Im Falle das r = 1 (Einheitskreis) ist, gilt dann für das (Referenz-)Dreieck im Einheitskreis bei Anwendung des Satzes des Pythagoras die Gleichung

TrigoFunktionen17
Abb. 12

Daraus abgeleitet durch Division mit TrigoFunktionen18 bzw. TrigoFunktionen19 erhält man (Abb. 13)

TrigoFunktionen20
Abb. 13

Die folgenden Gleichungen gelten für alle Winkel  alpha-Zeichen und Beta-Symbol:

TrigoFunktionen21
Abb. 14

Die obigen Funktionsgrafiken wurden teilweise erstellt mit dem  Texas Instruments TI Nspire CX CAS Taschenrechner

 

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