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Vektoren und deren Rechenoperationen

In einem Koordinatensystem, bestehend aus 2 zueinander senkrecht stehenden Achsen x und y, kann jeder Punkt durch seine Koordinaten festgelegt werden (Bild 1).

Nun kann vom Ursprung O (Bild 2) zum Punkt P eine gerichtete Strecke eingezeichnet werden und damit kommen wir zum Ortsvektor von P.

Gebräuchlich ist auch die Schreibweise für den Ortsvektor

 oder .

Der Ortsvektor wird durch O als Anfangspunkt und durch die Pfeilspitze in P als Endpunkt festgelegt.
Allgemein formuliert, wird der Punkt P(x,y) durch den Ortsvektor mit als Zeilen- oder Spaltenvektor definiert.

Bild 1

Bild 2

Ein Vektor im 3-dimensionalen Raum wird dann natürlich wie folgt dargestellt:

Oben wurde dargelegt, dass ein Ortsvektor durch seine

      • Länge (Betrag), die
      • Richtung und durch seine
      • Lage, festgelegt durch den Ausgangspunkt in der Fläche oder Raum,

beschrieben wird.
Wird nur die Länge und die Richtung, also nicht der Ausgangspunkt, des Ortsvektors betrachtet, kommen wir zum “freien” Vektor .
 steht für die Menge aller möglichen parallelen und gleich langen Vektoren (Bild 3):

Bild 3

Die Vektoren sind äquivalent zueinander und werden zu einer Klasse, dem “freien” Vektor zusammengefasst:

Der Ortsvektor gehört natürlich auch zu dieser Klasse, zu dem Vektor :

Praktisch bedeutet dies, dass alle möglichen parallelen Vektoren des Beispiels (siehe Bild 3) mit bezeichnet werden können.

Rechnen mit Vektoren

Addition:

Vektoren, z. B. und , können zu einem Summenvektor addiert werden:

Es gilt das Kommutativ-...

... und das Assoziativgesetz:

Bild 4

Subtraktion:

Die Gegenoperation zur Addition ist die Subtraktion:

Bild 5

Skalare Multiplikation:

In der skalaren Multiplikation eines Vektors wird jedes Element des Vektors mit dem Skalar (der Zahl) multipliziert:

Allgemein:

Es gilt die Distributivität:

Linearkombination

Wird der Vektor aus und gebildet, wird von einer Linearkombination gesprochen:

Der/die Vektor(en) und/oder können natürlich auch mit einem Skalar, hier S und K, multipliziert und dann kombiniert werden:

Nullvektor und lineare Abhängigkeit

Der Nullvektor wird, basieren auf dem Beispiel der Linearkombination, über

erreicht.
Von linearer Abhängigkeit wird gesprochen, wenn wenigstens ein Skalar K vorhanden ist:

Der Vektor wird mit dem Skalar K nur multipliziert und  ist von linear abhängig.
Im Falle von

wird von linearer Unabhängigkeit gesprochen.

Skalares Produkt zweier Vektoren

Das skalare Produkt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte der gleichstelligen Koordinaten:

Hinweis:
Der “dicke” Punkt wird als “Vektor a Punkt Vektor b” gelesen!

Es spielt keine Rolle, ob Vektoren Zeilen- oder Spaltenvektoren sind.
Allgemein gilt:

Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren = 0, dann sind die Vektoren orthogonal (normal) zueinander.

Skalares Produkt und Winkelfunktionen

Wie lässt sich der Winkel zwischen 2 Vektoren und berechnen?

Bild 6

Dazu denken wir uns ein rechtwinkliges Dreieck in obiger Abbildung (Bild 7), ermitteln den Projektionsvektor b’...

Bild 7

... und können folgenden Zusammenhang erkennen:

b: Betrag des Vektors (Seite c des Dreiecks).

Wie wird der Betrag des Vektors berechnet? Wie Sie wahrscheinlich schon erahnt haben, können wir den Betrag über den Satz des Pythagoras (c2 = a2 + b2) berechnen. Um vom Ursprung O0,0 weg zu kommen (zeigt die Berechnung anschaulicher), gehen wir von folgendem Beispiel aus (Bild 8):

Bild 8

Der Vektor wird bestimmt durch die Punkte mit den Koordinaten O(2, 2) und P(6, 4). Der Betrag  , also die Länge, des Vektors soll ermittelt werden.

Zuerst werden die Beträge für x’ und y’ ermittelt (Projektionsvektoren, siehe Bild 8) und dann über Pythagoras der Betrag für berechnet:

Der Betrag des Vektors beträgt 4,472.

Der Betrag für einen Vektor im n-dimensionalen Raum wird ebenso berechnet:

Die erste Hürde zur Berechnung des Winkels ist genommen, wir wissen, wie der Betrag eines Vektors berechnet wird. Nun folgt der letzte Schritt.
Über das skalare Produkt für zwei beliebige Vektoren mit einem Winkel 0 <= <= 180° lässt sich der Winkel berechnen:

Kommen wir wieder zurück zu dem Eingangs genannten Beispiel in Bild 6. Für dieses Beispiel wird der Winkel demnach wie folgt berechnet:

Der Winkel beträgt für das Beispiel aus Bild 6 45°.
 

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