Vektoren und deren Rechenoperationen |
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Ein Vektor im 3-dimensionalen Raum wird dann natürlich wie folgt dargestellt: |
Oben wurde dargelegt, dass ein Ortsvektor durch seine |
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beschrieben wird. |
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Die Vektoren sind äquivalent zueinander und werden zu einer Klasse, dem “freien” Vektor zusammengefasst: |
Der Ortsvektor gehört natürlich auch zu dieser Klasse, zu dem Vektor : |
Praktisch bedeutet dies, dass alle möglichen parallelen Vektoren des Beispiels (siehe Bild 3) mit bezeichnet werden können. Rechnen mit Vektoren |
Addition: Vektoren, z. B. und , können zu einem Summenvektor addiert werden: |
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Subtraktion: Die Gegenoperation zur Addition ist die Subtraktion: |
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Skalare Multiplikation: In der skalaren Multiplikation eines Vektors wird jedes Element des Vektors mit dem Skalar (der Zahl) multipliziert: |
Allgemein: | ||||
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Linearkombination Wird der Vektor aus und gebildet, wird von einer Linearkombination gesprochen: |
Der/die Vektor(en) und/oder können natürlich auch mit einem Skalar, hier S und K, multipliziert und dann kombiniert werden: |
Nullvektor und lineare Abhängigkeit Der Nullvektor wird, basieren auf dem Beispiel der Linearkombination, über |
erreicht. |
Der Vektor wird mit dem Skalar K nur multipliziert und ist von linear abhängig. | |||||
wird von linearer Unabhängigkeit gesprochen. Skalares Produkt zweier Vektoren Das skalare Produkt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte der gleichstelligen Koordinaten: |
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Es spielt keine Rolle, ob Vektoren Zeilen- oder Spaltenvektoren sind. |
Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren = 0, dann sind die Vektoren orthogonal (normal) zueinander. Skalares Produkt und Winkelfunktionen Wie lässt sich der Winkel zwischen 2 Vektoren und berechnen? |
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Dazu denken wir uns ein rechtwinkliges Dreieck in obiger Abbildung (Bild 7), ermitteln den Projektionsvektor b’... |
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... und können folgenden Zusammenhang erkennen: |
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Wie wird der Betrag des Vektors berechnet? Wie Sie wahrscheinlich schon erahnt haben, können wir den Betrag über den Satz des Pythagoras (c2 = a2 + b2) berechnen. Um vom Ursprung O0,0 weg zu kommen (zeigt die Berechnung anschaulicher), gehen wir von folgendem Beispiel aus (Bild 8): |
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Der Betrag für einen Vektor im n-dimensionalen Raum wird ebenso berechnet: |
Die erste Hürde zur Berechnung des Winkels ist genommen, wir wissen, wie der Betrag eines
Vektors berechnet wird. Nun folgt der letzte Schritt. | ||||||
Kommen wir wieder zurück zu dem Eingangs genannten Beispiel in Bild 6. Für dieses Beispiel wird der Winkel demnach wie folgt berechnet: |
Der Winkel beträgt für das Beispiel aus Bild 6 45°. |
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