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Vektoren und deren Rechenoperationen |
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Ein Vektor im 3-dimensionalen Raum wird dann natürlich wie folgt dargestellt: |
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Oben wurde dargelegt, dass ein Ortsvektor durch seine |
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beschrieben wird. |
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Die Vektoren |
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Der Ortsvektor |
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Praktisch bedeutet dies, dass alle möglichen parallelen Vektoren des Beispiels (siehe Bild 3) mit Rechnen mit Vektoren |
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Addition: Vektoren, z. B. |
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Subtraktion: Die Gegenoperation zur Addition ist die Subtraktion: |
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Skalare Multiplikation: In der skalaren Multiplikation eines Vektors wird jedes Element des Vektors mit dem Skalar (der Zahl) multipliziert: |
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Allgemein: | ||||
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Linearkombination Wird der Vektor |
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Der/die Vektor(en) |
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Nullvektor und lineare Abhängigkeit Der Nullvektor wird, basieren auf dem Beispiel der Linearkombination, über |
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erreicht. |
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Der Vektor | |||||
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wird von linearer Unabhängigkeit gesprochen. Skalares Produkt zweier Vektoren Das skalare Produkt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte der gleichstelligen Koordinaten: |
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Es spielt keine Rolle, ob Vektoren Zeilen- oder Spaltenvektoren sind. |
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Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren = 0, dann sind die Vektoren orthogonal (normal) zueinander. Skalares Produkt und Winkelfunktionen Wie lässt sich der Winkel |
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Dazu denken wir uns ein rechtwinkliges Dreieck in obiger Abbildung (Bild 7), ermitteln den Projektionsvektor b’... |
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... und können folgenden Zusammenhang erkennen: |
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Wie wird der Betrag des Vektors |
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Der Betrag für einen Vektor im n-dimensionalen Raum wird ebenso berechnet: |
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Die erste Hürde zur Berechnung des Winkels | ||||||
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Kommen wir wieder zurück zu dem Eingangs genannten Beispiel in Bild 6. Für dieses Beispiel wird der Winkel |
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Der Winkel |
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