| F2 In F2 finden also die Polynome der einzelnen Segemente (lokale Polynome) und die globale Glattheitsanforderung über das Knotenkonzept (k-Term) Anwendung. Ein Polynom-Spline ist eine Linearkombination der n+m-1 (Polynomgrad + Knotenzahl - 1) Funktionen. Die einzelnen Koeffizienten an zeigen jeweils die Änderung der Steigung und durch Einführung von (x - kj) wird sichergestellt, dass die Steigungsänderung so glatt erfolgt, das die “Glattheitsanforderung” erfüllt ist. Verkürzt ausgedrückt, ein Polynom-Spline lässt sich als lineares Regressionsmodell mit großer Parameterzahl auffassen (siehe hier Fahrmeier, Kneib, Lang, Regression). Im
Gegensatz zum linearen Modell ist allerdings eine Interpretation der geschätzten Koeffizienten an nicht sinnvoll. Hier interessiert ehr die Form der geschätzten Funktion. Die Güte der Modellanpassung lässt sich durch Vergleich der Beobachtungen und der darauf basierenden Spline-Schätzung beurteilen. Zu bemerken ist noch, dass die Güte der Schätzung auch von der Zahl und Position der Knoten k abhängt. Zahl und Knotenposition hängen wiederum von der Verteilung der Beobachtungen ab. Von Vorteil ist die Knotenzahl auf Basis der Quantile. Damit werden entsprechend viele Knoten in Bereiche gelegt, in denen die Zahl der Beobachtungen hoch ist. Als praktikable Größe des Polynomgrades n hat sich n = 3 (kubisch) bewährt. Zur Schätzung (Modellierung) einer Spline-Funktion kann z. B. das R-Paket splines und die entsprechenden R
-Funktionen verwendet werden: > x <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15) > y <- c(1, 3, 4, 3, 2, 4, 8, 9, 9.5, 8, 10, 13, 16, 18, 20) > interpSpline(x,y)
> plot(sp, main = "Spline-Funktion") > points(x,y)
Die Spline-Funktion wurde über die Funktion interpSpline() geschätzt (modelliert) und in dem Objekt sp abgelegt. Für neue x-Daten (Beobachtungen) können die y-Werte über die Funktion predict() geschätzt werden:
> x_neu <- c(4.5, 7.5, 11.5) > predict(sp, x_neu) $x [1] 4.5 7.5 11.5
$y [1] 2.285222 8.742508 11.485926
Interpretation: Für die neuen Beobachtungen 4,5, 7,5 und 11,5 abgelegt in x_neu werden die y-Werte 2,285, 8,743 und 11,486 geschätzt.
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