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Zahlen können können auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden. Z. B. kann die ganze Zahl 3 von 0 nach rechts dem Zahlenstrahl folgend (Pfeilmodell) dargestellt werden: | ||||||
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Der Menge der ganzen Zahlen werden neben den natürlichen Zahlen x auch die negativen Zahlen -x zugeordnet. Diese folgend dem Zahlenstrahl von 0 ausgehend in die linke Richtung. Die Zahl -x ist das inverse Element zur Zahl x. Ein negatives Vorzeichen entspricht einer Spiegelung an der Senkrechten durch den Nullpunkt. Damit kommen wir zur Vorzeichenregel: + (+x) = +x = x |
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Bei einer Addition oder Multiplikation für Z. B. die Zahlen a und b, gilt -(a + b) = - a - b Die Reihenfolge der Rechenoperationen können durch Klammern festgelegt werden. | ||||||||||||||||||||||||||||
Der Betrag oder Absolutbetrag |
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Beispiel: | ||||||||||||||||||||||||||||
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Der Absoultbetrag für -3 ist | ||||||||||||||||||||||||||||
Auch gilt | ||||||||||||||||||||||||||||
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und die Dreiecksungleichungen: | ||||||||||||||||||||||||||||
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Der Kehrwert eine Zahl | ||||||||||||||||||||||||||||
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Der Kehrwert wird auch reziproker Wert genannt. Beispiele: | ||||||||||||||||||||||||||||
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Dabei gilt
(Siehe auch Potenz & Co.) | ||||||||||||||||||||||||||||
Ist X eine Variable mit verschiedenen Ausprägungen, d. h., mit unterschiedlichen Inhalten, werden diese durch das Anhängen eines Indizes unterschieden: | ||||||||||||||||||||||||||||
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Der Index wird neben der Variablen tiefgestellt angebracht und ist in den meisten Fällen eine Zahl. Das Summenzeichen |
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Man erhält die Summe, wenn für alle Summanden der Index i im obigen Beispiel zurerst auf 1 und dann auf 2 bis schließlich auf n gesetzt wird. Der Index i wird Summantionsindex genannt, kann aber natürlich durch einen beliebigen Buchstaben erstetzt werden. Beispiel: |
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Wird der Summand von einer Konstanten c begleitet, gilt |
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Sind alle xi gleich Ihrem Index i, dass heißt es gilt xi = i für jedes i, ist die Summe über alle i |
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und für xi = i2 (xi gleich dem Quadrat des Index i), gilt |
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Ein Anwendungsbeispiel der Summenregeln in der Statistik finden Sie hier! Eine weitere wichtige Summenformel ist die Geometrische Summenformel. Die Summenberechnung für folgende geometrische Reihe |
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Analog zur Summe kann das Produkt |
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n Fakultät (n!) ist das Produkt aller natürlichen Zahlen: |
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Es gilt für ein leeres Produkt 0! = 1 und die Beziehung (n + 1)! = (n + 1)*n!: |
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