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Determinanten

Determinanten (determinare (lat.) = bestimmen) gehören zum Gebiet der linearen Algebra mit beliebig vielen Unbekannten (Matrizenrechnung).
Sie liefern Kriterien darüber, ob ein Gleichungsystem eine eindeutige Lösung hat und ist ein mathematisches Hilfsmittel, um die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit einem Mindestmaß an Rechenarbeit zu erhalten.
Einleitend wird die Determinante an einem System von zwei Gleichungen 1. Grades (die Unbekannten liegen nicht potenziert vor) mit zwei Unbekannten dargelegt:

          • a11x1 + a12x2 = k1
          • a21x1 + a22x2 = k2

Wie Sie sich sicher erinnern können, kann das Additionsverfahren zur Lösung angewendet werden:

Additionsverfahren zur Erinnerung:

    Im Additionsverfahren werden die Gleichungen durch Multiplikation mit geeigneten Zahlen so umgeformt, dass bei der Addition der neuen Gleichung eine Unbekannte wegfällt. Dadurch wird eine Gleichung mit einer Unbekannten erhalten.
    Die zweite Unbekannte wird dadurch bestimmt, indem der für die erste Unbekannte ermittelte Wert in eine der Gleichungen eingesetzt und dann aufgelöst wird.

    Für x1:

    Multiplikation mit a22 und -a12:

          • a11x1 + a12x2 = k1      * a22
          • a21x1 + a22x2 = k2       * -a12

    Durchgeführter Multiplikationsschritt:

          • a11a22x1 + a12a22x2 = k1a22
          • -a12a21x1 - a12a22x2 = -k2a12

    (Die folgenden Gleichungen sind zur besseren Darstellung garfisch dargestellt!)

Addition der beiden Gleichungen, wobei der gelbmarkierte Teil wegfällt:

x1 ausklammern und nach x1 lösen:

    Für x2:

    Multiplikation mit -a21 und a11:

        • a11x1 + a12x2 = k1      * -a21
        • a21x1 + a22x2 = k2       * a11

    Durchgeführter Multiplikationsschritt und Addition:

In den allgemeinen Lösungen für x1 und x2 tritt beide Male im Nenner der Ausdruck a11a22-a12a21 auf. Dieser Ausdruck ist die Determinate D des Gleichungssystems.

            D = a11a22-a12a21

Die Determinate eines Systems von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten wird berechnet, indem von dem Produkt der Hauptdiagonalglieder das Produkt der Nebendiagonalglieder subtrahiert (Matrixschreibweise siehe hier!):

In der allgemeinen Lösung für x1 und x2 können Sie auch die Zählerdeterminaten Dx1 und Dx2 erkennen:

Nun lässt sich die allgemeine Lösung für x1 und x2 auch nach der Cramerschen “Regel” darstellen:

Es lässt sich nun auch erkennen, dass wenn D = 0 ist, die Gleichungen von einander abhängig sind und das System unendliche Lösungen hat, oder das System steht im Wiederspruch und es gibt keine Lösung.
Auf die Darlegung von Unterfällen (Lösbarkeit des Systems) für Determinanten höherer Ordnung wird hier verzichtet.
Durch diese Eigenschaft, geben Determinanten eindeutige Informationen über die Lösbarkeit eines Gleichungsystemes.

Determinante eines beliebigen Grades

Die Determinante wird erhalten, wenn nacheinander jedes Element einer Zeile (Spalte) mit der zugeordneten Unterdeterminante multipliziert wird. Die Produkte werden unter Berücksichtigung der Vorzeichenregel (Schachbrettregel) addiert.

Beispiel:

Für das Element a11 sieht die Unterdeterminante wie folgt aus...

weil

... für das Element a21 ..

weil

... und für das Element a31 so:

weil

Die Addition (Schachbrettregel) der Produkte führt zur Determinante:

Dieses Verfahren lässt sich auf Systeme mit n linearen Gleichungen mit n Unbekannten anwenden.

Determinantengesetze

Auf einen Beweis der hier aufgeführten Gesetze wird verzichtet. Einige Gesetze werden Ihnen aus dem Themenbereich Matrix schon bekannt sein.

  1. Eine Determinante behält ihren Wert, wenn die Zeilen mit den gleichstelligen Spalten vertauscht (transponiert) werden:
  1. Werden in einer Determinante zwei parallele Reihen miteinander vertauscht, ändert die Determinante nur ihr Vorzeichen:
  1. Stimmen in einer Determinante zwei parallele Reihen überein, ist der Wert der Determinante = 0.
     
  2. Enthalten in einer Determinante alle Elemente einer Reihe einen gemeinsamen Faktor c, kann dieser Faktor vor die Determinante gezogen werden:
  1. Sind in einer Determinante die Elemente einer Reihe den Elementen einer parallelen Reihe proportional, ist der Wert der Determinante = 0.
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