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H-Test von Kruskal und Wallis

Der H-Test von Kruskal und Wallis ist ein verteilungsfreies Testverfahren zur Prüfung, ob die Beobachtungen aus verschiedenen unabhängigen Stichproben der gleichen Grundgesamtheit angehören.

Getestet wird die Nullhypothese H0, dass die Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit entstammen.

Die Ausprägungen (Daten) der Beobachtungen müssen mindestens ordinales Skalenniveau aufweisen. Dabei ist es unerheblich, ob von den Beobachtungen, die ein höheres Skalenniveau aufweisen, nur die ordinalen Informationen genutzt werden. Der H-Test, oder auch Rangvarianzanalyse genannt, vergleicht ordinale Informationen hinsichtlich ihrer zentralen Tendenz. Die Bezeichnung Rangvarianzanalyse beruht darauf, dass dieser Test ein verteilungsfreies Analogon zur einfaktoriellen (parametrischen) Varianzanalyse ist.

Für diesen Test können mehr als zwei Stichproben nk, (k = 1, 2, ..., n) zu einer Stichprobe N zusammengefasst (gepoolt) werden. Das heißt, für den Test liegt dann ein Stichprobenumfang N von

F1

vor. Die Beobachtungen werden der Größe nach sortiert und den Rängen R von R1 bis Rn zugewiesen (siehe zur Vorgehensweise auch den Wilcoxon-Test). Das folgende konstruierte Beispiel verdeutlich die Vorgehensweise (Abb 1):

Abb. 1

3 Gruppen (A, B, C) unterschiedlichen Umfangs (Anzahl der Gruppenmitglieder) beurteilen ein Merkmal mit den Einstufungen 1 bis 5. Diese Beurteilungen sind im linken Teil der Abb. 1 dargestellt.
Die Beurteilungen werden der Größe nach sortiert und dann den Rängen R1 bis R19 zugewiesen, wie im rechten Teil der Abb.1 abgebildet. Wie weiter oben schon angedeutet, spielt es keine Rolle ob das Merkmal von einem höheren Skalenniveau (z. B. Temperaturen, Körpergröße in cm, ...) als das ordinale Niveau ist. Es werden nur die ordinalen Informationen des Merkmals genutzt.

In Abb. 1 können Sie erkennen, dass 7-mal die Beurteilung 2 für das Merkmal vergeben wurde. Für diese Beurteilung wurden die Ränge 2 bis 8 vergeben. Aufgrund der Gleichheit der Beurteilungen, entspechen diese Beurteilungen einem Rang - in diesem Fall wird von Bindungen gesprochen - und dieser Rang wird durch den Mittelwert über die Beurteilungen 2 festgelegt:

Rang Beobachtung = 2 = (2+3+4+5+6+7+8)/7 = 5

Zur Berechnung der Prüfgröße H wird die Rangsumme R bzw. die mittlere quadratische  Rangsumme R2 / nG benötigt (Abb. 2, Spalte G). Über R2 / nG lässt sich die Test-Idee herleiten! Bei diesem Test wird abgeleitet von der parametrischen Varianzanalyse davon ausgegangen, dass die mittleren quadratischen Rangsummen bei zutreffen der Nullhypothese H0 innerhalb statistischer Grenzen ähnlich sind:

H0R2 / nA = R2 / nB = R2 / nC

Abb. 2

Über diese Annahme, wurde von Kruskal und Wallis der H-Test entwickelt. Entstammen die Beobachtungen aus umfangreichen Stichproben wird die Prüfgröße H, ohne Berücksichtigung der Bindungen, wie folgt geschätzt (F2):

H-Test-Schätzung
F2

Führen wir die Schätzung der Prüfgröße H für obiges Beispiel (Abb. 2) durch. Der Stichprobenumfang N für das Beispiel beträgt nach F1 n = 19. Der Stichprobenumfang n und die Rangsummendaten eingesetzt in F2 ergeben die Prüfgröße H = 6,21 (F3):

F3

Die Nullhypothese H0 muss abgelehnt werden, wenn H0 > Tabellenwert der Chi2-Verteilung für die gewünschte Irrtumswahrscheinlichkeit α und Freiheitsgrad FG = Anzahl Gruppen - 1 ist.

H0 = H < G-1;α

H1 = H > G-1;α

6,21 > 5,992;0,05

Für das obige Beispiel muss von der Alternativhypothese H1 mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0,05 ausgegangen werden. D. h., die Beobachtungen für die 3 Gruppen A, B und C entstammen nicht der gleichen Grundgesamtheit. Es ist aber keine Aussage möglich, welche Grundgesamtheit differiert.

Es wird empfohlen, wenn mehr als 25% aller Werte zu Bindungen gehören, die Prüfgröße H zu korrigieren (F4):

F4

In F4 bedeutet b die Anzahl der Rangplätze pro Bindung i. Da Hkorr immer größer als H ist, braucht Hkorr nicht berechnet zu werden, wenn H signifikant ist.

Der H-Test lässt sich auch mit dem Statistikprogramm R durchführen. Dazu wird die Funktion kruskal.test() angeboten.

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