Wilcoxon-Test, Vorzeichen-Rang-Test |
Tests für den Vergleich zweier verbundener Stichproben - dem Vergleich gepaarter Beobachtungen - ist der t-Test bei normalverteilten Differenzen und der Vorzeichen-Rang-Test von Wilcoxon. Der Wilcoxon-Test ist ein nichtparametrischer Test, d. h., es wird keine Annahme über die zugrundeliegende Verteilung als Voraussetzung gemacht. Die Verteilung des zugrundeliegenden Merkmals steht nicht im Vordergrund, sondern die symmetrische Verteilung der Paardifferenzen der Merkmale um den Median. Der Wilcoxon-Test prüft, ob die Differenzen paarweise angeordneter Beobachtungen symmetrisch mit dem Median gleich Null verteilt sind. Die Nullhypothese H0 lautet also H0: Differenz = 0. Die Alternativhypothese H1, das der Median der Differenzen ungleich Null ist, ist demnach H1: Differenz # 0. Trifft die Alternativhypothese H1 zu, ist die Grundgesamtheit nicht symmetrisch in Bezug auf den Median oder den Stichproben liegen unterschiedliche Verteilungen zugrunde. Darauf basierend, lassen sich die Hypothesen auch wie folgt formulieren: H0: die Verteilungsfunktionen der gepaarten Beobachtungen X und Y sind indentisch und die Alternativhypothese H1: die Verteilungsfunktionen unterscheiden sich in ihrer Lage oder Form. Testdurchführung Der Test wird in mehreren Schritten durchgeführt:
Die Nullhypothese H0 wird dann verworfen, wenn die Prüfgröße PG kleiner oder gleich dem Vergleichswert der RTabelle ist:
Für die gelb markierten Ränge wird der Durchschnittsrang gebildet: (3+4+5)/3=4. Die Rangbildung wird dann ab dem 6. Rang fortgesetzt. Rang 3 und 5 sind in den Durchschnittsrang eingeflossen und können natürlich nicht mehr verwendet werden. Beispiel Wir gehen von folgendem Beispiel aus: Im obigen Beispiel sind 3 gleiche absolute Differenzen enthalten. Die gelben Zellen zeigen den Durchschnittsrang . Die Verteilung zwischen den positiven und negativen Rangzahlen ist nicht identisch, aber ob hier ein statistisch signifikanter Unterschied vorliegt, also H0 abgelehnt werden muss, soll wie folgt geprüft werden:
Nun haben wir alle Daten vorliegen und prüfen die Nullhypothese H0, also ob die gepaarten Beobachtungen X und Y eine identische Verteilungsfunktion besitzen: H0: PG > R(10; 0,05) = 24 > 8 Mit einem Signifikanzniveau von 5% trifft die Nullhypothese H0 zu! |
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Die Ausgabe der Funktion ist deutlich: V = 24 ist die Summe der positiven Rangzahlen und die Größe des p-Wertes (p-value = 0.7592) macht deutlich, dass die Nullhypothese H0 nicht abgelehnt werden kann! Die Warnmeldung ist verständlich, es liegen ja tatsächlich Bindungen vor! Dadurch kann der p-Wert auch nur geschätzt werden! Standardmäßig wird der Vertrauensbereich P mit P = 0.95 vorgegeben (conf.level = 0.95), was einem Signifikanzniveau von 0,05 entspricht. Möchten Sie den Wilcoxon-Test mit einer exakten Berechnung des p-Wertes durchführen, können Sie z. B. die Funktion wilcox_test()aus dem Paket coin nutzen! |
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