Allgemeines zu Funktionen, Teil 1 |
Über die Mathematik wird versucht, Zusammenhänge in der realen Welt mathematisch zu beschreiben. Dazu werden von der realen Welt Modelle gebildet, die den vermuteten Zusammenhang beschreiben. Dieser Zusammenhang wird Funktion genannt. Z. B. hängt der Siedepunkt von Wasser von dem Luftdruck ab. In einem Tal ist der Wassersiedepunkt höher als auf einem Berg, denn dort ist der Luftdruck geringer. Ein funktionaler Zusammenhang zwischen Siedepunkt und Wasser darf vermutet werden (-> Modell). In diesem Modell hängt die veränderliche Größe Siedepunkt (y) von der variablen Größe Luftdruck (x) ab. Mathematisch ausgedrückt heißt es dann y ist eine Funktion von x und wird in der mathematischen Schreibweise wie folgt dargestellt... y = f(x) (explizite Darstellungsform). ... und wird gelesen als “y ist gleich f von x” wobei, f für Funktion, steht. Aus der bisherigen Funktionsbeschreibung folgt die Definition einer Funktion: Eine Funktion f ist eine Zuordnung, die jeder Zahl x einer Zahlenmenge D eine Zahl y aus der Zahlenmenge W zuordnet. y = f(x) oder x -> f(x) D: Menge aller möglichen Eingabewerte = Definitionsbereich der Funktion Für y = f(x) wird oft nur kurz f(x) geschrieben. Und die Schreibweise y = f(x), f: D -> W bedeutet, dass die Funktion den Definitionsbereich D und den Wertebereich W hat. Eine Funktion besteht demnach aus 3 Teilen (Abb. 1): Wird D oder W nicht angegeben, gilt D = Menge aller reellen Zahlen Das ist dann der natürliche oder maximale Definitionsbereich D. Der Definitionsbereich z. B. der Funktion ist die gesamte Menge der reellen Zahlen (F1 in Abb. 2).
Eine Funktion kann mit einem Automaten verglichen werden (Abb. 3): Abb. 3: Funktion als Automat In Abb. 3 stellt als wesentliches Element der Funktionsautomat die Zuordnungsvorschrift f dar. Der Funktionsautomat berechnet auf Basis der Eingabe x die Ausgabe y. Von einer beschränkten Funktion wird gesprochen, wenn der Definitionsbereich D auf bestimmte Werte beschränkt ist (oder wird). Wird z. B. F1 (Abb. 3) auf positive Werte für x beschränkt, wird y = x2 , x > 0 geschrieben. Die allgemeine Schreibweise für eine nach unten und/oder oben beschränkte Funktion ist: a, b: reelle Zahlen, die die Funktion beschränken Beispiele für beschränkte Funktionen (Abb. 4): Ändert sich der Definitionsbereich einer Funktion, ändert sich i. d. R. auch der Wertebereich. Der Wertebereich der Funktion y = x2 (F1) ist . Abbildung 5 zeigt für einige Funktionen den natürlichen Definitions- und entsprechenden Wertebereich:
Der Graph einer Funktion ist das Bild, das erhalten wird, wenn man eine Funktion y = f(x) über geordnete Zahlenpaare (Abb. 6) in ein Koordinatensystem einträgt.
In einem kartesischen Koordinatensystem ist die waagerechte Achse die x-Achse (Abszissenachse) und die senkrechte Achse ist die y-Achse (Ordinatenachse). x ist dann die Abszisse und y die Ordinate eines Punktes (x,y) mit den Koordinaten x und y. Hier ein Beispiel für die Funktion y = x2 (Abb. 6):
Nebenbei haben wir mit Abb. 6 eine weitere Möglichkeit zur Darstellung einer Funktion kennen gelernt: Die Darstellung als Wertetabelle! Die Konstruktion der grafischen Darstellung über die Wertetabelle (numerische Darstellung) ist nachvollziehbar. Die Güte der grafischen Funktionsdarstellung hängt mit der Dichte der Punkte ab. Einfach ausgedrückt: Je höher die Punkt-Zahl, desto besser die Darstellung des grafischen Funktionsverlaufes! Neben der Funktionsbeschreibung durch die Funktionsgleichung ermöglicht die grafische Darstellung einen Überblick über das Funktionsverhalten. Um zu entscheiden, ob eine grafische Darstellung in einem Koordinatensystem der Graph einer Funktion ist, wird der Senkrechtentest herangezogen. Da eine Funktion f nur einen Wert f(x) für jedes x aus dem Definitionsbereich D haben kann, kann eine Senkrechte den Funktionsgraph nur einmal schneiden (Abb. 7):
Eine Funktion y = f(x) heißt
folgt. x1 und x2 sind beliebige Punkte aus dem Definitionsbereich D, wobei auch nur ein bestimmter Bereich des Definitionsbereichs betrachtet werden kann. Abb. 8 zeigt zwei Beispiele:
Die Symmetrieeigenschaft einer Funktion hängt davon ab, ob sie gerade oder ungerade ist. Was bedeutet gerade oder ungerade?
Die Bezeichnung gerade und ungerade hängt mit der Potenz von x zusammen. Ist die Potenz von x eine gerade Zahl wie 2 oder 4, wird von einer geraden Funktion gesprochen. Ist die Potenz ungerade, wie z. B. 3 oder 5, wird von einer ungeraden Funktion gesprochen. Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse (siehe Abb. 10, f9(x) = x2, roter Funktionsgraph) und ungerade Funktionen sind symmetrisch bezüglich des Ursprungs [0,0] (siehe Abb. 10, f10(x) = x3, schwarzer Funktionsgraph). Eine elementare Funktion ist eine Funktion, deren Funktionsgleichung durch einen geschlossen analytischen Ausdruck dargestellt werden kann. Elementare Funktionen werden über Formeln definiert, die endlich viele mathematische Operatoren mit der unabhängigen Variablen x und den Koeffizienten enthalten. Abb. 11 gibt einen Überblick über die elementaren Funktionen:
f(x) = mx + b Lineare Funktionen die f(x) = xn
p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 Gebrochene rationale Funktion: Eine gebrochene rationale Funktion kann immer als Quotient zweier ganzer rationaler Funktionen dargestellt werden. Zähler und Nenner sind Polynome in x: Jede Funktion, die mithilfe von algebraischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Radizieren) aus Polynomen gebildet wurden, sind algebraische Funktionen. Alle rationalen Funktionen sind algebraische Funktionen. E f(x) = logax Siehe auch Sinus und Co. Weiter mit allgemeines zu Funktionen, Teil 2... Die obigen Funktionsgrafiken wurden erstellt mit dem Ti-Nspire Cx Casii-T |
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