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Grenzwert und Stetigkeit

Auf der Seite Folgen und Reihen wurde der Grenzwert schon erwähnt. Dabei wurde das Verhalten von Zahlenfolgen mit wachsendem n betrachtet. Das gilt auch für Funktionen. Lässt man für eine Funktion

y = f(x)

die unabhängige Variable x eine Zahlenfolge durchlaufen, durchläuft auch die abhängige Variable y eine Zahlenfolge. Auf dieser Seite geht es um das Verhalten der Funktion an einer bestimmten Stelle x₀ des Funktionsverlaufes. Dabei muss x₀ nicht genau die Stelle, sonder “nur” eine benachbarte rationale  Zahl sein. Ein beliebtes Beispiel zum Grenzwert (Limes) ist die Funktion

Wie verhält sich die Funktion, wenn x = 1 ist? Sie sehen sofort, dass in diesem Falle eine Division durch 0 erfolgt und das bedeutet, dass diese Funktion für x = 1 nicht definiert ist.

Die obige Grafik soll den Gedanken andeuten, dass je näher ein x-Wert an 1 heranrückt, desto näher scheint das Funktionsergebnis an 2 zu sein. Betrachten wir das Funktionsergebnis 2 als Grenzwert L der Funktion,  kann der Gedanke allgemeiner formuliert werden: Es liegt f(x) beliebige nahe an L, wenn x beliebig nahe an x₀ liegt:

Sprachlich ausgedrückt: “Der Grenzwert von f(x) für x gegen x₀ ist L.”. Für dieses Beispiel kann der Grenzwert nun wie folgt definiert werden:

Bevor wir zur exakten Grenzwertdefinition kommen, definieren wir noch den Grenzwert L für identische und konstante Funktionen:

Im bisherigen Text haben für mit beliebig nahe an x₀ beschrieben. Zur exakten Grenzwertdefinition reicht uns diese Beschreibung nicht, da beliebig nahe für jeden von uns eine andere Bedeutung haben kann. Es wird also eine Beschreibung benötigt, die darauf beruht, dass der Abstand zwischen f(x) und L kleiner als jeder noch so kleine vorgegebene Fehler ist, wenn x hinreichend nahe an x₀ ist. Folgende Grafik soll diesen Gedanken darstellen:

In obiger Grafik wird beliebig nahe mit dem Fehler-Intervall (Epsilon) um den Grenzwert L und einem Toleranzwert (Delta) um x₀ definiert. Die Aufgabe ist es nun, zu jedem notwendigen ein hinreichend kleines zu bestimmen, damit f(x) für alle x aus dem -Intervall im -Toleranzbereich liegen.

Damit kann der Grenzwert definiert werden:

f(x) ist in einem offenen Intervall um x₀ definiert, ausgenommen möglicherweise bei x₀ selbst. Der Grenzwert L von f(x) für x gegen x₀ ist

wenn für jedes ein entsprechendes existiert, sodass für alle x

gilt.

Bei obiger Definition wird von einem zweiseitigen Grenzwert ausgegangen. Hat f(x) an der Stelle x keinen zweiseitigen Grenzwert, kann möglicherweise ein einseitiger Grenzwert vorliegen:

Die Funktion f(x/abs(x)) hat den Grenzwert L =1, wenn x von rechts gegen 0 geht und den Grenzwert L = -1, wenn x von links gegen 0 geht (a ist in diesem Beispiel 0):

In den bisherigen Beispielen, ging die Variable x gegen eine konkrete Zahl wie 1 oder gegen x₀ bzw. a⁺/a^-. Die Variable x kann auch, wie im nächsten Beispiel, gegen   gehen:

Der Grenzwert L wird für unendliche x-Werte wie folgt definiert:

Geht x der Funktion f(x) gegen unendlich, ist der Grenzwert L

wenn zu jedem eine Zahl M  existiert, sodass

gilt.

Für - :

wenn zu jedem eine Zahl N  existiert, sodass

gilt.

Rechenregeln zu Grenzwerten:

Ein Beispiel dazu für f(x) = 3 + 1/x:

Stetigkeit

Werden tabellarische Funktionswerte in einem kartesischen Koordinatensystem grafisch dargestellt, werden die Stützstellen einfach durch einen Kurvenzug verbunden. Dabei wird stillschweigend angenommen, dass alle anderen nicht aufgeführten oder nicht berechnete Punkte ohne Unterbrechung auf der Linie/Kurve liegen. Es wird also angenommen, dass die dargestellte Funktion keine Lücken aufweist oder Sprünge macht. Das führt zur intuitiven Definition der Stetigkeit:

Eine Funktion, deren Kurvenbild im Definitionsbereich D einen ununterbrochenen Linienzug/Kurvenzug aufweist, heißt in diesem Bereich stetig. Trifft das nicht zu, heißt sie unstetig.

Die folgenden Beispielgrafik zeigt einen Definitionsbereich, aus dem sich drei Stetigkeits-Sichten ergeben:

Die Abbildung zeigt einen inneren Stetigsbereich x₂ und zwei Randstellen (x₁ und x₃). Der innere Bereich um x₂ ist für beide Seiten stetig und die Randstellen jeweils von rechts und links stetig.

Definition der Stetigkeit:

Eine Funktion f(x) ist an einer inneren Stelle x₂ ihres Definitionsbereiches stetig, wenn

und an einer linken oder rechten Randstelle stetig, wenn

                           bzw. ist.

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